1、f（x，y）在（x0，y0）处连续指的是：当（x，y）沿着任意路径趋向于（x0，y0）时，f（x，y）的极限都是f（x0，y0）。A选项只是找到了两条路径：x轴与y轴。
2、整体而言，楼主的解答方法，没有错误；由于展开后的级数是麦克劳林幂级数，不存在x的负幂次项，求和符合内，必须将常数1分出来，才能求导，否则会出现负幂次；楼上的说法，对了一半，解释完全错了。本题的具体解答如下，若有疑问，请追问，有问必过看不清楚，请点击放大。
3、第一种解法是正确的，第二种解法过程错了，正确的结果也可以变换成答案C。f（x）=2x，f（x+1）=2（x+1）=2x+2。
4、楼主的解法完全正确，只是没有进行到底；本题是无穷小比无穷小型不定式。本题可以用罗毕达求导法则，也可以用分子有理化的方法解楼主正是使用的分子有理化方法，接下去的方法，最直接了当 的方法，是将sinx 写成 1 - cosx ，然后再因式分解，立刻就 可以化简。
5、指数化，化为e的多少次方。利用基本极限，进行配凑。当然第二种方法，后期熟练后，可以直接使用相关推论方式，详情可参考考研数学武忠祥老师的高数课程。本题，极限最终结果应该是 不存在且不是无穷大。因为，这里又涉及到了分左右极限计算的三种类型之一中的 e的无穷次方 类型。
6、你好！答案如图所示：很高兴能回答您的提问，您不用添加任何财富，只要及时采纳就是对我们最好的回报 。若提问人还有任何不懂的地方可随时追问，我会尽量解祝您学业进步，谢谢。
②. 后半部分（ + dydz） ，虽然你省略了正号，注意x中有±的，表示曲面分前半部分和后半分的，分开计算而已；上面①. 中取正号表示前半部分取后侧方向；这里②.取后半部分，但S超前方向。
g（h）=af（h）+bf（2h）-f（0），0=lim g（h）=af（0）+bf（0）-f（0），因此a+b-1=0。0=lim g（h）/h=lim [af（h）+bf（2h）-f（0）】/h=lim a【f（h）-f（0）】/h+lim b【f（2h）-f（0）】/h=af（0）+2bf（0），因此a+2b=0。
左导数= [ f（x） - f（x0） ] / （ x - x0 ），将 f（x） = | x - x0 | g（x） 代入其中，左导数的分母（x -x0）是小于零的。同理，求出右导数后，发现左右导数相等时，在 x = x0 处，g（x） = - g（x），则 g（x0） = 0 。
tanx-sinx）/（x^3）。而tanx-sinx=（secx）（sinx）（1-cosx）~（1/2）（secx）（sinx）x^2，∴原式=1/4。（4）题，∵（1+x）^x=e^[xln（1+x）]~e^（x*x）=e^（x^2）~1+x^2，∴原式=lim（x→0）（1+x^2-1）/[（sinx）（2x）]=（1/2）lim（x→0）（x^2）/（xsinx）=1/2。供参考。
令√（3x＋9）＝u，则：3x＋9＝u^2，∴x＝（1/3）u^2－3，∴dx＝（2/3）udu。
应该考虑用 sinx 的泰勒展开，sinx= x - 六分之x^3 + 高阶无穷小（ x ^4 ）也可理解成 用阶的估计 算了一下结果等于1 ，不知是否正确。
1、P（x）在实数集内连续，且当x趋于无穷大时，P（x）也趋于正无穷【主要原因是x的4次方前面没有（负）系数，这样才能保证这句话的正确性】x0是最大实根，则有P（x0）=0，且当xx0，则有P（x）P（x0）=0 P（x0）的导数就是点x0处的切线的斜率，则用 lim△P/△x求得。
2、用导数定义计算，f（x） 在 x = x0 处可导，则 左导数=右导数。左导数= [ f（x） - f（x0） ] / （ x - x0 ），将 f（x） = | x - x0 | g（x） 代入其中，左导数的分母（x -x0）是小于零的。
3、在实际应用中，这种技巧不仅适用于简单的函数，还可以扩展到更复杂的情况。通过对 f（x， y） 进行偏导数计算，可以进一步分析函数的性质，如单调性、极值等。这对于解决实际问题和理论研究都具有重要意义。在进行这类题目时，建议同学们多加练习，熟悉各种求导技巧和方法。
1、介值定理在高数书第一章第11节中。 介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。
2、将A、B和AB之间的值都混同到一起，只知道是【a，b】内取值，而不知道是哪一点取值了。这是将原本清晰的f（a）=A和f（b）=B模糊化为【a，b】内至少存在一个ζ使得函数等于A或等于B。这种将原本清晰的问题模糊化的做法，是不应该的。所以书本才是开区间。
3、相比之下，零点定理则是介值定理的特殊情况。它规定，如果函数f（x）在闭区间[a， b]上连续，并且f（a）与f（b）的符号相反（即f（a）×f（b）0），那么函数在开区间（a， b）内至少存在一个零点，即存在ξ（aξb），使得f（ξ）=0。
4、这两题都是介值定理的运用，或者说是根的存在性和唯一性的证明问题。函数在区间（a，b）上单调，且f（a）f（b）0，则对应的方程在区间（a，b）上有且只有一个根。
